"La principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matemáticas es en problemas y soluciones."

Paul R. Halmos


miércoles, 26 de mayo de 2010

PROPOSITO DE MATEMATICAS

El estudio de las matemáticas en la educación secundaria se orienta a lograr que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, así como a justificar la validez de los procedimientos y resultados y a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para comunicarlos.

Por ello, la escuela debe garantizar que los estudiantes:
  • Utilicen el lenguaje algebraico para generalizar propiedades aritméticas y geométricas.
  • Resuelvan problemas mediante la formulación de ecuaciones de distintos tipos.
  • Expresen algebraicamente reglas de correspondencia entre conjuntos de cantidades que guardan una relación funcional
  • Resuelvan problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes.
  • Resuelvan problemas que implican realizar cálculos con diferentes magnitudes.
  • Utilicen las propiedades geométricas para realizar trazos, para establecer su viabilidad o para efectuar cálculos geométricos.
  • Identifiquen y evalúen experimentos aleatorios con base en la medida de la probabilidad.
  • Utilicen de manera eficiente diversas técnicas aritméticas, algebraicas o geométricas, con o sin el apoyo de tecnología, al resolver problemas.


LA METODOLOGÍA DE PÓLYA


En 1945 el insigne matemático y educador George Pólya (1887-1985)
Publicó un libro que rápidamente se convertiría en un clásico: How to solve it. En el mismo propone una metodología en cuatro etapas para resolver problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que aplicadas adecuadamente ayudarían a resolver el problema. Las cuatro etapas y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuación:

Etapa I: Comprensión del problema.

• ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
• ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?
¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?


Etapa II: Concepción de un plan.

• ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
• ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
• He aquí un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría utilizarlo?, ¿Podría emplear su resultado? ¿Podría utilizar su método? ¿Podría utilizarlo introduciendo algún elemento auxiliar?
• ¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones.
• Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿en qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
• ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Etapa III: Ejecución del plan.

Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.

¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?

Etapa IV. Visión retrospectiva.

¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe?
¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?
La primera etapa es obviamenteindispensable: es imposible resolver un problema del cual no se comprende el enunciado.
Sin embargo en nuestra práctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicar fórmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una función comienzan de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el cálculo de la derivada no se pedía y más aún que el mismo era irrelevante para la solución del problema, algunos le responderían: ¿o sea que no nos va a dar ningún punto por haber calculado la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensión absoluta de lo que es un problema y plantea una situación muy difícil al profesor, quien tendría que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal vez a lo largo de muchos años.


La segunda etapa es la más sutil y delicada, ya que no solamente está relacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino también con la imaginación y la creatividad.
Observemos que las preguntas que Pólya asocia a esta etapa están dirigidas a llevar el problema hacia un terreno conocido. Con todo lo útiles que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada una interrogante: ¿qué hacer cuando no es posible relacionar el problema con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajar duro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiración.

La tercera etapa es de carácter más técnico. Si el plan está bien concebido, su realización es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento necesarios, debería ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos.
Sin embargo por lo general en esta etapa se encontrarían dificultades que nos obligarían a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso para modificarlo por completo. Este proceso puede repetirse varias veces.

La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas expertos.
Pólya insiste mucho en su importancia, no solamente porque comprobar los pasos realizados y verificar su corrección nos puede ahorrar muchas sorpresas desagradables, sino porque la visión retrospectiva nos puede conducirá nuevos resultados que generalicen, amplíen o fortalezcan el que acabamos de hallar.

LA MATEMATICA TIENE SU PROPIO LENGUAJE.

Generalmente las situaciones problemáticas suelen presentarse en lenguaje común (el lenguaje que usamos para comunicarnos), esto nos obliga a tener que manejar adecuadamente el lenguaje algebraico (uso de simbolos: literales, números, signos de operación o agrupación, etc) , con la finalidad de poder establecer las relaciones existentes entre los diferentes elemento o datos que nos proporciona el problema.
acontinuacion se presentan algunos ejemplos de oraciones en lenguaje común y que suelen utilizarse mucho en matemáticas.
LENGUAJE COMÚN

a) El doble de un número.
b) El cuadrado de un número menos tres.
c) La suma de dos números.
d) La diferencia de los cuadrados de dos números.
e) La mitad de un número.
f) El cuádruplo de un número.
g) La suma de un número y su cuadrado.
h) El doble de un número menos cinco.
i) La tercera parte de un número.
j) El cuadrado de la suma de dos números.
k) El doble de la suma de tres números.
l) El triple de la raíz cuadrada de un número.
m) La suma de tres números consecutivos.
n) Una cuarta parte de la suma de dos números.
ñ) Un número aumentado en cinco unidades.
o) El doble de un número menos el triple de otro.
p) Las tres cuartas partes de un número.
q) El cubo de la diferencia de dos números.
r) El producto de dos números.
s) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.
LENGUAJE ALGEBRAICO.
Ahora presentaremos las mismas expresiones pero en lenguaje algebraico.


    a) El doble de un número.

    2x
    b) El cuadrado de un número menos tres.

    x2 - 3
    c) La suma de dos números.

    x + y
    d) La diferencia de los cuadrados de dos números.

    x2 - y2
    e) La mitad de un número.

    x/2
    f) El cuádruplo de un número.

    4x
    g) La suma de un número y su cuadrado.

    x + x2
    h) El doble de un número menos cinco.

    2x - 5
    i) La tercera parte de un número.

    x/3
    j) El cuadrado de la suma de dos números.

    (x + y)2
    k) El doble de la suma de tres números.

    2(x + y + z)
    l) El triple de la raíz cuadrada de un número.
    m) La suma de tres números consecutivos.

    x + (x + 1) + (x + 2)
    n) Una cuarta parte de la suma de dos números.

    ( x + y ) / 4
    ñ) Un número aumentado en cinco unidades.

    x + 5
    o) El doble de un número menos el triple de otro.

    2x - 3y
    p) Las tres cuartas partes de un número.

    (3x)/4
    q) El cubo de la diferencia de dos números.

    ( x - y )3
    r) El producto de dos números.

    xy
    s) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.

    x/7 + 5y


    LOS PROBLEMAS DE LOS PROBLEMAS...

    PROBLEMA 1.
    “Unos policías ―dijo con una voz potente, pero agradable― están investigando a un grupo de delincuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar al grupo, pero no saben la contraseña. En ese momento llega un cliente, llama a la puerta y desde el interior le dicen ‘18’, el cliente responde ‘9’. La puerta se abre y él accede al interior. Los policías se miran, creen tener la respuesta, pero deciden esperar.
    Llega otro cliente, golpea y desde dentro le dicen ‘8’, él responde ‘4’ y la puerta se abre. Los policías sonríen. ¡Ya lo tenemos! Un nuevo cliente llega y desde adentro le dicen ‘14’, a lo que responde ‘7’ y la puerta se abre. El jefe a cargo decide enviar a un agente. Éste llama a la puerta y desde dentro le dicen ‘0’. El policía se paraliza y después de unos breves segundos responde ‘0’. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. Los otros policías quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye ‘6’ y el policía muy convencido responde ‘3’. Nuevamente los disparos y el policía muere"
    ¿Por qué?
    ESTAN COORDIALMENTE INVITADOS TODOS LOS LECTORES A QUE DEJEN SU RESPUESTA (COMO COMENTARIO) A ESTE PROBLEMA. GRACIAS.

    EPITAFIO DE DIOFANTO

    Un problema más para que sigan ejercitando la propuesta de Pólya.
    En esta ocasión verán un vídeo y una presentación que le guiara en la aplicación.

    video


    PROBLEMA 2

    Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que las porciones que reciban estén en progresión aritmética y que la séptima parte de la suma de las tres mayores sea igual a la suma de las dos porciones menores.

    PROBLEMA 3

    Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 1/3 del contenido del primer recipiente en el segundo, y a continuación 1/4 del contenido del segundo en el tercero, y por último 1/10 del contenido del tercero en el primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Qué cantidad de agua había originalmente en cada recipiente?

    PROBLEMA 4

    Un cubo sólido de madera de lado 20 cm se pinta de rojo. Luego con una sierra se hacen cortes paralelos a las caras, de centímetro en centímetro, hasta obtener 8000 cubitos de lado 1 cm. ¿Cuántos de esos cubitos tendrían al menos una cara pintada de rojo?